1. 物理現象の変化を記述
位置\(x(t)\)の時間微分で速度\(v(t)\)を、さらに加速度\(a(t)\)を得る。
\(\displaystyle v(t)=\frac{dx}{dt},\quad a(t)=\frac{dv}{dt}\)
2. 自然現象のモデル化
ニュートンの運動方程式や波動方程式は微分方程式で表される。
\(\displaystyle F=ma\ \Rightarrow\ m\frac{d^2x}{dt^2}=F(x,t)\)
\(\displaystyle \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}=c^2\nabla^2\psi\)
3. 理論の統一性
異なる法則も微分の視点で統一的に扱える。
\(\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\quad \nabla\times\mathbf{B}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}=\mu_0\mathbf{J}\)
4. 実用的な応用
工学、経済学、生物学など多領域で変化率を解析。
- 電気回路解析: \(\displaystyle L\frac{dI}{dt}+RI=V(t)\)
- 経済モデル: \(\displaystyle \frac{dP}{dt}=kP\bigl(1-\frac{P}{M}\bigr)\)
- 人口成長: \(\displaystyle \frac{dN}{dt}=rN\)